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圆的周长怎么算出来的(圆的周长怎么算?)
2021-04-05 返回列表
这个圆简单、对称、精致。但是我们如何衡量它呢?就这个问题而言,其实质是我们应该如何测量弯曲的形状。
 
关于圆,我们需要注意的第一件事是圆上的任何一点与圆心的距离都是一样的。毕竟,只有这样它才能变成一个圆。从圆上任意一点到圆心的距离称为圆的半径。因为所有的圆都有相同的形状,只有半径可以区分一个圆和另一个圆。一个圆的周长,我们称之为周长(周长,拉丁文意思是“随身携带”)。我认为圆最自然的度量是它的面积和周长。
 
让我们从做一些近似开始。如果我们在一个圆上放置一定数量的等距点,然后连接这些点,我们将得到一个正多边形。
 
这个正多边形的面积和周长的值比圆的小,但是这两对值非常接近。如果我们放置更多的点,我们可以使这两对值更接近。假设我们使用的点数非常大,例如n。因此,我们得到一个规则的n边,它的面积和周长非常接近一个圆的实际面积和周长。关键是随着正n多边形边数的增加,正n多边形会越来越接近一个圆。这个正多边形的面积是多少?让我们把它切成n个相同的三角形。
 
这样,每个三角形底边的长度等于正多边形边的长度,称为s。三角形的高度是从圆心到正多边形边的距离,我们称之为h。因此,每个三角形的面积是1/2hs,而正多边形的面积是1/2hs。请注意,sn正好是正多边形的周长,因此我们可以得到以下等式:
 
其中p是正多边形的周长。这样,利用周长和圆心到边长的距离,我们就可以精确地表示正多边形的面积。
 
然而,当边数n无限增加时,会发生什么?显然,正多边形的周长将更接近圆的周长,高度也将接近圆的半径。这表明正多边形的面积必然接近1/2rC,同时正多边形的面积总是接近圆的真实面积A。那么,唯一的结论只能是这两个值必须相等,即
 
这表明圆的面积只是半径和周长乘积的一半。
 
思考这个结论的一个好方法是把圆想象成一条直线,直线和圆的半径正好形成一个直角三角形。
 
我们的公式表明,一个圆所占的面积正好等于这个直角三角形的面积。
 
这里有一个非常重要的方法。仅仅通过做一些近似,我们就无意中得到了圆面积的精确表示。关键的一点是,我们不仅做了一些高度精确的近似,而且做了无数次近似。我们构造了一个精度越来越高的无限逼近序列,这足以让我们看到模式并得到它们的极限。换句话说,我们可以从一个有模式的无限近似序列中知道真相。因此,有理由认为这是人类有史以来产生的最伟大的想法。
 
公元前370年左右,古希腊数学家欧多克索斯(柏拉图的学生)发明了这种奇妙的方法,我们通常称之为用尽方法。它允许我们通过构造直线的无限近似序列来测量弯曲的形状。用穷举法构造无限近似序列的诀窍是构造的无限序列必须有一定的模式——一个无限的随机数序列不能告诉我们任何有价值的信息。因此,拥有一个无限的序列是不够的,我们必须能够发现其中的模式并理解序列。
 
现在,我们用周长来表示圆的面积。但是周长可以测量吗?对于正方形来说,用边长的比率来测量周长是很自然的,也就是边长与一边长的比率。同样,对于圆,我们也可以采用这种方法。穿过圆心的直线和圆的两个交点之间的距离称为圆的直径(显然,直径正好是半径的两倍)。因此,对于一个圆,一个相似的度量将是周长与直径之比,即圆周率。因为所有的圆都有相同的形状,
 
因此,每个圆的比率是相等的。通常,我们用希腊字母pi或来表示比率。对圆的意义与4对正方形的意义相同。
 
估算的值并不难。例如,假设我们把一个内切法正六边形放在一个圆里。
 
这个正六边形的周长正好是圆直径的三倍。由于周长比这个正六边形的周长长,我们可以得出大于3的结论。如果我们使用有更多边的正多边形,我们会得到更精确的近似值。阿基米德(生活在公元前250年左右)使用规则的96边形状,得到22/7。许多人幻想这是一个严格的等式,但事实上不是。的真值稍小,相对精确的近似值是3.1416,更精确的近似值是355/113,这是中国人在5世纪给出的(祖冲之,小编者注)。
 
但是的确切值是多少呢?不幸的是,关于价值的消息相当糟糕。由于是一个无理数(兰伯特在1768年证明了这一性质),我们不可能用两个整数之比来表示它。特别是,绝对不可能将直径和周长都表示为同一个测量单位的整数倍。
 
事实上,我们面临的情况比我们处理正方形对角线时遇到的情况还要糟糕。虽然2也是无理数,但我们至少可以将其表示为“平方为2的数”。换句话说,我们可以用整数运算来表示由2满足的关系,也就是说,满足x2=2的是这样一个数x。虽然我们不知道2的值是多少,但我们知道它的性质。
 
结果表明有不同的情况。它不仅不能用分数表示,而且实际上不能满足任何代数关系。有什么用?除了表示圆周率,它没有其他功能。是。像这样的数叫做超越数(在拉丁语中是“超越”的意思)。超越数(有很多)超出了代数的表达能力。林德曼在1882年证明了是一个超越数。令人惊讶的是,我们仍然可以知道像超越数这样的数字。
 
然而,另一方面,数学家也发现了的许多其他表示。例如,莱布尼茨在1674年发现了以下公式:
 
这里的想法是,随着公式右侧增加的项的数量增加,项的总和将越来越接近公式左侧的值。因此,可以表示为无限项的和。这个公式至少给我们提供了的纯数值表示,它在哲学上也很有趣。更重要的是,这是我们能得到的全部。
 
这就是全部情况。周长与直径之比是。然而,我们对这个比率无能为力。我们所能做的就是添加它来扩展我们的语言。
 
特别是,半径为1的圆的直径为2,因此它的周长为2。圆的面积是半径和周长乘积的一半,正好是。按r的比例放大圆,这样我们可以得到一个半径为r的圆,它的周长和面积可以通过下面的公式得到:
 
C=2r
 
A=r2
 
值得注意的是,上面提到的第一个公式实际上没有实质内容,它只是的重述。第二个公式真的有深刻的内容,这相当于我们在上一节得到的结果,也就是说,圆的面积等于它的半径和周长的乘积的一半。
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